Гомоморфизмы групп, колец, полей. Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел Изоморфизм колец
Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.
Пусть R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) и R 2 = (R 2 , +, ⋅, 0, 1 ) - кольца.
Определение 2.9. Отображение f: R 1 → R 2 называют гомоморфизмом колец (кольца R 1 в кольцо R 1), если f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для любых x, у ∈ R 1 , т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца R 1 при отображении f равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце R 2 .
Если отображение f сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом ) колец (кольца R 1 на кольцо R 2)
Пример 2.25. Рассмотрим R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) - кольцо целых чисел - и ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) - кольцо вычетов по модулю k. Зададим отображение f: ℤ → ℤ k так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления m на k. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых m и n имеет место равенство f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых тип также верно равенство f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n). С учетом того что отображение f сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо ℤ k вычетов по модулю k. #
Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.
Теорема 2.20. Пусть R 1 и R 2 - произвольные кольца. Если f: R 1 → R 2 - гомоморфизм, то
- образ нуля кольца R 1 при отображении f есть нуль кольца R 2 , т.е. f(0 ) = 0 ;
- образ единицы кольца R 1 при отображении f есть единица кольца R 2 , т.е. f(1 ) = 1 ;
- для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, противоположного элементу x, равен элементу, противоположному образу элемента x, т.е. f(-x) = -f(x);
- если кольца R 1 и R 1 являются полями, то для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, обратного к элементу х по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента x, т.е. f(x -1) = -1
Теорема 2.21 . Если f - гомоморфизм кольца R в кольцо K , a g - гомоморфизм кольца K в кольцо L , то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм кольца R , в кольцо L .
Теорема 2.22. Если f: R 1 → R 2 - изоморфизм кольца R 1 на кольцо R 2 , то отображение f -1 есть изоморфизм кольца R 2 на кольцо R 1 . #
Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо К называют гомоморфным образом кольца R , если существует гомоморфизм кольца R на кольцо K . Два кольца R и K называют изоморфными и пишут R ≅ K , если существует изоморфизм одного из них на другой.
Так, например, кольцо вычетов по модулю к есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому т сопоставляет остаток от деления m на k.
Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.
Пример 2.26 . Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а + bi матрицу f(a + bi) = . Получим отображение f , которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, где 0 - нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а 2 + b 2 , среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.
Далее, легко проверить, что множество таких матриц за- замкнуто относительно операций сложения и умножения ма- матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу -А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида , a, b, ∈ ℝ , с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его М (a,b)2 .
Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля М (a,b)2 . Так как
f[(a+bi) + (c+di)] = f{(a+c) + (b+d)i] =
F(a+bi) + f(c+di),
то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля М (a,b)2 . Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц М (a,b)2 . Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.
То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего положения:
Если множества M и M" изоморфны относительно некоторой системы отношений S , то любое свойство множества M , формулированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отношений, определяемых через отношения системы S ), переносится на множество M" , и обратно.
Разберем это положение на конкретном примере.
Пусть в множествах M и M" определено отношение "больше", и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если M упорядочено, т. е. если в M выполнены свойства 1) и 2) из раздела , то они выполнены и в M" .
Докажем свойство 1). Пусть a" и b" - элементы M" и a и b - соответствующие элементы M . В силу условия 1) в M выполнено одно из соотношений a = b , a > b , b > a . Отображение M на M" сохраняет отношение "больше". Значит, выполнено одно из соотношений a" = b" , a" > b" , b" > a" . Если бы в M" выполнялось более одного из них, то из сохранения отношения "больше" при отображении M" на M следовало бы выполнение более одного отношения для a и b , что противоречит условию 1).
Докажем свойство 2). Если a" > b" и b" > c" , то также a > b и b > c . В самом деле, в M должно быть a > c . Значит, a" > c" .
Займемся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того, что здесь отношения a + b = c и ab = c удовлетворяют дополнительным требованиям, что для любых a и b существует одно и только одно c , для которого a + b = c или ab = c (эти два требования являются по существу двумя дополнительными аксиомами), причем эти требования предполагаются выполненными как в M , так и в M" , определение изоморфизма групп колец и полей можно упростить по сравнению с определением , а именно требовать сохранения основных отношений лишь при переходе от M к M" . Ограничиваясь случаем колец и полей, нужным в дальнейшем при определении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким образом:
Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю ) R" (запись ), если существует взаимно однозначное отображение R на R" , при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R" .
Покажем, что это определение является частным случаем общего определения . Для этого надо лишь убедиться, что обратное отображение R" на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в R" имеем: a" + b" = c" , и элементам a" , b" , c" при обратном отображении соответствуют a , b , c из R . Надо доказать, что a + b = c . Но если a + b = d ≠ c , то из определения, данного в предыдущем абзаце, следовало бы a" + b" = d" ≠ c" , что противоречит однозначности операции сложения в R"
1. Композиция гомоморфизмов колец – гомоморфизм колец.
Пусть , , – кольца, , – гомоморфизмы колец, – композиция функций. Тогда для " a , b Î K 1 выполняются равенства:
Итак, – гомоморфизм колец.
2. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то – подкольцо K 2 .
Im f Í K 2 и . (K 1 , +) и (K 2 , ) – группы, f – гомоморфизм данных аддитивных групп. Поэтому, по свойству 2 гомоморфизмов групп . Для выполняется , поскольку f – гомоморфизм колец. Следовательно, Im f – подкольцо K 2 .
3. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то и для .
Так как f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм соответствующих аддитивных групп колец (K 1 , +) и (K 2 , ), то по свойству 2 гомоморфизмов групп имеем и для . Непосредственное доказательство:
по определению гомоморфизма, нейтрального и противоположного элемента аддитивной группы.
4. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то и для в Im f , где – единица K 1 и – единица Im f .
Согласно свойству 2 . Если – единица K 1 , то для , поскольку f – гомоморфизм, выполняется
То есть – единица . Для выполняются равенства и f (a –1) · f (a ), следовательно, в Im f .
5. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то Ker f – двусторонний идеал K 1 .
Ker f Í K 1 и Ker f ¹ Æ, так как Ker f по свойству 3. Для " a , b Î Ker f . Далее, для " a Î Ker f , " k Î K 1 выполняется , . Итак,
Пример 4.6.4. Рассмотрим функцию f : Z /28Z ® Z /28Z , где . f – эндоморфизм кольца (Z /28Z , Å, Ä), так как для любых , Î Z /28Z
Можно заметить, что для , поскольку , а также, что Im f и Ker f являются главными идеалами кольца Z /28Z , то есть Im f , где (k , 28) = 28/7 = 4, и Ker f , где (l , 28) = 28/4 = 7. Таким образом,
Im f – подкольцо Z /28Z , но , поскольку Im f .·
6. Гомоморфизм колец f : K 1 ® K 2 является мономорфизмом тогда и только тогда, когда .
Доказательство вытекает из свойства 4 гомоморфизмов групп, поскольку f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм соответствующих групп (K 1 , +) и (K 2 , ).
Из свойств 5 и 6 следует, что любой гомоморфизм произвольных полей является либо нулевым, либо инъективным (так как поле не имеет нетривиальных идеалов). Гомоморфизмы позволяют произвести отождествления изоморфных полей, установить между полями отношения частичного порядка – по включению.
Теорема 4.6.1 (первая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть (K , +, ×) – кольцо, – двусторонний идеал. Тогда существует эпиморфизм колец для которого Ker f = I .
Построим функцию , где . f – сюръекция: , , существует .
для согласно построению факторкольца (K /I , Å, Ä). Поэтому f – гомо-морфизм колец.
Для Ker f . Пусть но если , так как различные классы вычетов по модулю двустороннего идеала не пересекаются. Получается противоречие. Значит, и . Итак,
Определение 4.6.4. Гомоморфизм колец где при ко-тором называется естественным (каноническим ) гомомор-физмом.
Теорема 4.6.2 (вторая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть– гомоморфизм кольца в кольцо . Тогда
(свойство 2 гомоморфизмов колец), (свойство 5 гомоморфизмов колец). Построим функцию f : , где . f – сюръективная функция, так как для .
f не зависит от выбора представителя класса вычетов : пусть a 1 = a + i , тогда получаем, что
Пусть , тогда . Так как иначе , что приводит к противоречию тому, что . Значит, f – инъекция. Итак, f : – биективная функция.
для . Значит, f – гомоморфизм колец. Таким образом, f – изоморфизм колец и .
Поскольку для произвольного кольца , из свойства 6 гомоморфизмов колец и теоремы 4.6.2 следует, что любой инъективный эндоморфизм кольца является автоморфизмом. В частности, любой ненулевой эндоморфизм поля является его автоморфизмом.
Пример 4.6.5. Пусть (P , +, ×) – поле, (P [x ], +, ×) – кольцо полиномов над полем P . – фиксированный элемент поля. Рассмотрим функцию , где . Тогда для справедливы равенства:
следовательно, y – гомоморфизм колец.
по следствию 1 из теоремы Безу 4.4.4. y – сюръекция, так как для и . Значит, Таким образом, по теореме 4.6.2 .·
Развитием следствия 2 из теоремы 4.5.2 является следующая теорема.
Теорема 4.6.3 (теорема существования корня). Для всякого неприводимого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее корень этого полинома и изоморфное полю P [x ]/< f (x ) >.
Факторкольцо (P [x ]/< f (x ) >, Å, Ä) является полем согласно следствию 2 из теоремы 4.5.2. Подполе в P [x ]/< f (x ) > изоморфно полю P , очевидно, изоморфизм задает функция y : P ® P [x ]/< f (x ) >, где y (a ) = , являющаяся вложением P в P [x ]/< f (x ) >, как уже говорилось в примере 4.6.3. Пусть f (x ) = a n x n +…+a 1 x +a 0 , , тогда в поле P [x ]/< f (x ) > . Но поскольку = , то, является корнем полинома . Рассмотрим теперь множество S , удовлетворяющее условиям: S ÇP = Æ, | S | = | (P [x ]/< f (x ) >)\ | ¹ 0 при n > 1. Пусть F = S ÈP , при n = 1 F = P . Зададим на F структуру поля, продолжив мономорфизм y до изоморфизма F на P [x ]/< f (x ) >. Если b , c ÎF , то полагаем
b +c = y –1 (y (b )Åy (c )), b ×c = y –1 (y (b )Äy (c )).
При ограничениях на P эти операции совпадают соответственно с заданными операциями сложения и умножения в P , и ясно, что P – подполе F . Положим a = , тогда y (f (a )) = y (a n a n +…+a 1 a +a 0) = = = и, поскольку y – изоморфизм F на P [x ]/< f (x ) >, f (a ) = 0 в поле (F , +, ×). Значит, построенное поле является расширением поля P , содержащим корень a полинома f (x ).
Следствие 1. Для любого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее корень этого полинома.
По теореме 4.4.1 полином f (x ) однозначно разлагается на множители: f (x ) = , где , – неприводимые над P полиномы со старшими коэффициентами, равными 1, – старший коэффициент f (x ). Согласно теореме 4.6.3 для каждого существует расширение поля P , содержащее корень данного полинома, являющийся и корнем полинома f (x ) в соответствии со следствием 1 из теоремы Безу 4.4.4 и свойством 3 делимости полиномов.
Замечание. Тот факт, что расширение поля P содержит корень a полинома f (x )ÎP [x ], вовсе не означает, что содержит все корни этого полинома.
Пример 4.6.6. Полином f (x ) = x 4 –2 неприводим над Q по по признаку Эйзенштейна: p = 2. В поле C данный полином имеет четыре простых корня: , , и . Но поле содержит только первый и третий из этих корней, но не все четыре.·
Следствие 2. Для любого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее все корни f (x ).
Доказательство проведем индукцией по степени полинома f (x ). Если deg f = 1, то f (x ) = ax +b , a ¹ 0, и – a –1 b ÎP – единственный корень f (x ), значит, P – искомое поле. Предположим, что утверждение верно для всех многочленов степеней, меньших фиксированного n ÎN >1 , с коэффициентами из произвольных полей.
Пусть теперь deg f = n > 1. Тогда по следствию 1 из теоремы 4.6.3 существует расширение P 1 поля P , содержащее корень a полинома f (x ). Согласно следствию 1 из теоремы 4.4.4 в P 1 [x ] f (x ) = (x –a )g (x ), где g (x )ÎP 1 [x ] и deg g = = n –1. По предположению индукции существует расширение P 2 поля P 1 , содержащее все корни g (x ). Так как P 2 является расширением поля P и содержит все корни полинома f (x ) (оно содержит a и все корни полинома g (x )), то P 2 и есть искомое расширение.
Теорема 4.6.4. Пусть – эпиморфизм колец, Ker f = I . Тогда существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между всеми идеалами кольца и идеалами U кольца (K , +, ×), содержащими I , такое что , .
, Ker f = I . Пусть – произвольный идеал кольца , соответственно левый, правый, двусторонний. Рассмотрим прообраз идеала при отображении f – . Тогда для , выполняются следующие свойства:
1) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;
2) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;
3) , если – левый идеал, , если – правый идеал, , если – двусторонний идеал, так как соответственно , , , поскольку и соответственно , , , а , .
Таким образом, является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K , +, ×) согласно определению. Поскольку , то . Если – идеалы кольца , причем , то для , значит, для , такое что , поскольку , , следовательно, . Итак, существует функция, заданная на множестве всех идеалов кольца , которая каждому левому, правому, двустороннему идеалу ставит в соответствие его прообраз при отображении f , являющийся соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K , +, ×), содержащим I , и данная функция сохраняет включения идеалов. , то для K и соответственно левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца .
Согласно теореме 4.6.2 существует изоморфизм колец , . Применяя теорему 4.6.3, получаем, что f задает требуемое взаимно однозначное соответствие между идеалами кольца и кольца , такое что , .
Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
п.1. Понятие кольца.
Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция, называется кольцом, если выполнены аксиомы.
I. - абелева группа.
II. 1) - ассоциативность умножения.
2) законы дистрибутивности: - левый дистрибутивный закон, - правый дистрибутивный закон.
Называется аддитивной группой кольца.
Определение. Кольцо называется кольцом с единицей , если существует
Определение. Кольцо называется коммутативным, если
Определение. Элементы называются делителями , если
Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:
Кольцо - коммутативно.
Кольцо с единицей , где .
Кольцо не имеет делителей нуля.
П.2. Примеры колец.
Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как и . Это коммутативное кольцо, так как . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.
Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.
Проверим, будет ли на множестве - кольцо.
Бинарная операция на множестве .
Унарная операция на множестве .
Значит - алгебра.
Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.
Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.
Пусть . Определим операции , ; , .
Бинарные операции на множестве
Значит - унарная операция на множестве .
Значит - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство - равенство функции: из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от а) б). Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей . Действительно, (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , , (нулевая функция). Вычислим (равно нулевой функции). Значит , - делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.
П.3. Простейшие свойства кольца.
Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:
Доказательство. - абелева группа, имеем
Доказательство. - абелева группа, имеем .
Если , если .
Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве .
Если , если .
Доказательство. Следует из свойства 4 групп.
Если , если .
Доказательство. Следует из 5 свойства групп.
Доказательство. Следует из 6 свойства групп.
Доказательство. Докажем, что .
Доказательство. Докажем, что рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что .
Обозначение: .
(правый дистрибутивный закон), (левый дистрибутивный закон).
Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.
Доказательство. Вычислим сумму .
П.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Дано два кольца и .
Определение. Гомоморфизмом кольца в кольце называется функция и обладающая свойствами:
Другими словами, гомоморфизм колец - это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если - гомоморфизм кольца в , то - гомоморфизм абелевых групп в группу .
Теорема. Пусть и - кольца и , обладающих свойствами:
Тогда - гомоморфизм колец.
Доказательство. Из свойства является гомоморфизмом групп и , поэтому обладает свойствами: , , значит по определению - гомоморфизм колец.
Определение. Отображение называется изоморфизмом кольца на , если обладает свойствами:
Гомоморфизм колец.
Биекция.
Другими словами: изоморфизм - это гомоморфизм, являющийся биекцией.
П.5. Подкольца.
Пусть - кольцо, , .
Определение. Множество - замкнуто относительно операции , если .
Множество - замкнуто относительно операции , если . Множество - замкнуто относительно операции , если .
Теорема. Пусть - кольцо, , , если - замкнуто относительно операции , то - кольцо, которое называется подкольцом, кольца .
Доказательство. - бинарные операции, - унарная операция, так как - замкнутое множество. Так как , то существует , так как - замкнуто относительно операции , то , значит - алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на , потому алгебра - кольцо.
Теорема. Пусть - числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.
П.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.
Алгебраическая система , где бинарные операции, - унарная операция, , , называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:
I. - кольцо.
Абелева группа
Аддитивная группа
II. Множество - замкнуто относительно операций и алгебраическая система является системой натуральных чисел (системой Пеано).
Аксиома индукции: пусть . Если множество удовлетворяет условиям: | , где . Число называется делимым, - делителем, - частным, - остатком при делении на .
Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел , . Для этого рассмотрим множество . Множество содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть - наименьшее неотрицательное число в , тогда . Докажем, что , предположим противное . Рассмотрим число . противоречие с выбором . Доказано, что , . Докажем единственность чисел и , пусть . , . Докажем, что , предположим противное . Пусть . Имеем противоречие, так как между числами нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то , а отсюда следует, что . Доказана единственность чисел и .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье - М.: Физмат лит-ра, 2001
- Секреты молодости и красоты екатерины андреевой Рецепт красоты от екатерины андреевой
- Как нарисовать барабаны Как нарисовать барабан карандашом поэтапно
- Щадящая диета для похудения живота: рацион, правила Правила составления рациона
- Что делать с коровой, которая не встает после отела Если подняться не получается