Кольца: определение, свойства, примеры. Научный форум dxdy Определение и основные свойства колец
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения
Кольца
Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:
Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
Замечания 1.10.1 .
Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец) .
Мы уже убедились, что группа вычетов (Z n ,+)={C 0 ,C 1 ,...,C n-1 }, C k =k+nZ , по модулю n с операцией сложения , является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).
Определим операцию умножения, полагая . Проверим корректность этой операции . Если C k =C k" , C l =C l" , то k"=k+nu , l"=l+nv , , и поэтому C k"l" =C kl .
Так как (C k C l)C m =C (kl)m =C k(lm) =C k (C l C m), C k C l =C kl =C lk =C l C k , C 1 C k =C k =C k C 1 , (C k +C l)C m =C (k+l)m =C km+lm =C k C m +C l C m , то является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C 1 кольцом вычетов по модулю n ).
Свойства колец (R,+,.)
Лемма 1.10.3 (бином Ньютона) . Пусть R - кольцо с 1 , , . Тогда:
Доказательство.
Определение 1.10.4 . Подмножество S кольца R называется подкольцом , если:
а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;
б)для имеем ;
в)для кольца R с 1 предполагается, что .
Примеры 1.10.5 (примеры подколец) .
Задача 1.10.6 . Описать все подкольца в кольце вычетов Z n по модулю n .
Замечание 1.10.7 . В кольце Z 10 элементы, кратные 5 , образуют кольцо с 1 , не являющееся подкольцом в Z 10 (у этих колец различные единичные элементы).
Определение 1.10.8 . Если R - кольцо, и , , ab=0 , то элемент a называется левым делителем нуля в R , элемент b называется правым делителем нуля в R .
Замечание 1.10.9 . В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.
Пример 1.10.10 . В Z , Q , R нет делителей нуля.
Пример 1.10.11 . Кольцо непрерывных функций C имеет делители нуля. Действительно, если
то , , fg=0 .
Пример 1.10.12
. Если n=kl
, 1 Лемма 1.10.13
. Если в кольце R
нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac
, где , , следует, что b=c
(т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля). Доказательство. Если ab=ac
, то a(b-c)=0
. Так как a
не является левым делителем нуля, то b-c=0
, т. е. b=c
. Определение 1.10.14
. Элемент называется нильпотентным
, если x n =0
для некоторого . Наименьшее такое натуральное число n
называется степенью нильпотентности элемента
. Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1
, то , ). Обратное утверждение неверно (в Z 6
нет нильпотентных элементов, однако 2
, 3
, 4
- ненулевые делители нуля). Упражнение 1.10.15
. Кольцо Z n
содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n
делится на m 2
, где , . Определение 1.10.16
. Элемент x
кольца R
называется идемпотентом
, если x 2 =x
. Ясно, что 0 2 =0
, 1 2 =1
. Если x 2 =x
и , , то x(x-1)=x 2 -x=0
, и поэтому нетривиальные идемпотенты
являются делителями нуля. Через U(R)
обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R
, т. е. тех , для которых существует обратный элемент s=r -1
(т. е. rr -1 =1=r -1 r
). Определение
4.1.1.
Кольцо
(K
, +, )
– это алгебраическая система с непустым
множеством K
и двумя бинарными алгебраическими
операциями на нем, которые будем называть
сложением
и умножением
.
Кольцо является абелевой аддитивной
группой, а умножение и сложение связаны
законами дистрибутивности:
(a
+ b
) c
=
a
c
+ b
c
и с
(a
+ b
) =
c
a
+ c
b
для произвольных a
, b
, c
K
. Пример
4.1.1.
Приведем примеры колец. 1.
(Z
, +, ),
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– соответственно кольца целых,
рациональных, вещественных и комплексных
чисел с обычными операциями сложения
и умножения. Данные кольца называются
числовыми
. 2.
(Z
/
n
Z
, +, )
–
кольцо классов вычетов по модулю n
N
с операциями сложения и умножения. 3.
Множество
M
n
(K
)
всех квадратных матриц фиксированного
порядка n
N
с коэффициентами из кольца (K
, +, )
с операциями матричного сложения и
умножения. В частности, K
может быть равно Z
,
Q
,
R
,
C
или
Z
/n
Z
приn
N
. 4.
Множество
всех вещественных функций, определенных
на фиксированном интервале (a
; b
)
вещественной числовой оси, с обычными
операциями сложения и умножения функций. 5.
Множество
полиномов (многочленов) K
[x
]
с коэффициентами из кольца (K
, +, )
от одной переменной x
с естественными операциями сложения и
умножения полиномов. В частности, кольца
полиномов Z
[x
],
Q
[x
],
R
[x
],
C
[x
],
Z
/n
Z
[x
]
приn
N
. 6.
Кольцо
векторов (V
3 (R
), +, )
c
операциями сложения и векторного
умножения. 7.
Кольцо
({0}, +, )
с операциями сложения и умножения:
0 + 0 =
0,
0 0 =
= 0.
Определение
4.1.2.
Различают конечные
и бесконечные
кольца (по числу элементов множества
K
),
но основная классификация ведется по
свойствам умножения. Различают
ассоциативные
кольца, когда операция умножения
ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1)
и неассоциативные
кольца (пункт
6 примера 4.1.1: здесь
,
).
Ассоциативные кольца делятся на кольца
с единицей
(есть нейтральный элемент относительно
умножения) и без
единицы
,
коммутативные
(операция
умножения коммутативна) и
некоммутативные
. Теорема
4.1.1.
Пусть (K
, +, )
– ассоциативное кольцо с единицей.
Тогда множество K
*
обратимых относительно умножения
элементов кольца K
– мультипликативная группа. Проверим
выполнение определения группы 3.2.1. Пусть
a
, b
K
* .
Покажем, что a
b
K
* .
(a
b
) –1 = b
–1 а
–1 K
.
Действительно, (a
b
) (b
–1 а
–1) = a
(b
b
–1) а
–1 = a
1 а
–1 = 1, (b
–1 а
–1) (a
b
) = b
–1 (а
–1 a
) b
= b
–1 1 b
= 1, где
а
–1 ,
b
–1 K
– обратные элементы к a
и b
соответственно. 1) Умножение
в K
*
ассоциативно, так как K
– ассоциативное кольцо. 2) 1 –1 = 1:
1 1 = 1
1 K
* ,
1 – нейтральный элемент относительно
умножения в
K
* . 3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
Определение
4.1.3.
Множество
K
*
обратимых относительно умножения
элементов кольца (K
, +, )
называют мультипликативной
группой кольца
. Пример
4.1.2.
Приведем примеры мультипликативных
групп различных колец. 1.
Z
* = {1,
–1}. 2.
M
n
(Q
) * = GL
n
(Q
),
M
n
(R
) * = GL
n
(R
),
M
n
(C
) * = GL
n
(C
). 3.
Z
/n
Z
*
– множество обратимых классов вычетов,
Z
/n
Z
* = { | (k
, n
) = 1,
0 k
< n
},
при
n
> 1
| Z
/n
Z
* | =
(n
),
где
– функция Эйлера. 4.
{0} * = {0},
так как в данном случае 1 = 0.
Определение
4.1.4.
Если в ассоциативном кольце (K
, +, )
с единицей группа K
* =
K
\{0},
где 0 – нейтральный элемент относительно
сложения, то такое кольцо называют телом
или алгеброй
с
делением
.
Коммутативное тело называется полем
. Из
данного определения очевидно, что в
теле K
*
и 1 K
* ,
значит, 1 0,
поэтому минимальное тело, являющееся
полем, состоит из двух элементов: 0 и 1. Пример
4.1.3.
1.
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– соответственно числовые поля
рациональных, вещественных и комплексных
чисел. 2.
(Z
/p
Z
, +, )
– конечное поле из p
элементов, если p
– простое число. Например, (Z
/2Z
, +, )
– минимальное поле из двух элементов. 3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
Различают кольца
с делителями нуля и кольца без делителей
нуля. Определение
4.1.5.
Если в кольце найдутся
ненулевые элементы a
и b
такие, что a
b
= 0,
то их называют делителями
нуля
, а само
кольцо – кольцом
с делителями нуля
.
В противном случае кольцо
называется
кольцом без
делителей нуля
. Пример
4.1.4.
1.
Кольца
(Z
, +, ),
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– кольца без делителей нуля. 2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
4.
В
кольце (Z
/
n
Z
, +, )
с
составным n
=
k
m
,
где 1 < k
,
m
< n
,
классы вычетов
и
являются делителями нуля, так как
.
Ниже приведем
основные свойства колец и полей. В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д. Определение 1.
Кольцом
называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям: 1. a+b=b+a
(коммутативность сложения). 2. (a+b)+c=a+(b+c)
(ассоциативность сложения). 3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a
+0=a
, при любом a
. 4. Для любого a
существует противоположный элемент −a
такой, что a
+(−a
)=0. 5. (a+b)c=ac+bc
(левая дистрибутивность). 5". c(a+b)=ca+cb
(правая дистрибутивность). Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения. Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями. 6. (ab)c=a(bc)
(ассоциативность умножения). 7. ab=ba
(коммутативность умножения). 8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a
·1=1·a=a
, для любого элемента a
. 9. Для любого элемента элемента a
существует обратный элемент a
−1 такой, что aa
−1 =a
−1 a=
1. В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях. Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8. Примеры колец: 1. Множество квадратных матриц. Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице. 2. Множество всех комплексных чисел. 3. Множество всех действительных чисел. 4. Множество всех рациональных чисел. 5. Множество всех целых чисел. Определение 2.
Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом
. Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом. Определение
4.1.1.
Кольцо
(K
, +, )
– это алгебраическая система с непустым
множеством K
и двумя бинарными алгебраическими
операциями на нем, которые будем называть
сложением
и умножением
.
Кольцо является абелевой аддитивной
группой, а умножение и сложение связаны
законами дистрибутивности:
(a
+ b
) c
=
a
c
+ b
c
и с
(a
+ b
) = c
a
+ c
b
для произвольных a
, b
, c
K
. Пример
4.1.1.
Приведем примеры колец. 1.
(Z
, +, ),
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– соответственно кольца целых,
рациональных, вещественных и комплексных
чисел с обычными операциями сложения
и умножения. Данные кольца называются
числовыми
. 2.
(Z
/n
Z
, +, )
–
кольцо классов вычетов по модулю n
N
с операциями сложения и умножения. 3.
Множество
M
n
(K
)
всех квадратных матриц фиксированного
порядка n
N
с коэффициентами из кольца (K
, +, )
с операциями матричного сложения и
умножения. В частности, K
может быть равно Z
,
Q
,
R
,
C
или
Z
/n
Z
приn
N
. 4.
Множество
всех вещественных функций, определенных
на фиксированном интервале (a
; b
)
вещественной числовой прямой, с обычными
операциями сложения и умножения функций. 5.
Множество
полиномов (многочленов) K
[x
]
с коэффициентами из кольца (K
, +, )
от одной переменной x
с естественными операциями сложения и
умножения полиномов. В частности, кольца
полиномов Z
[x
],
Q
[x
],
R
[x
],
C
[x
],
Z
/n
Z
[x
]
приn
N
. 6.
Кольцо
векторов (V
3 (R
), +, )
c
операциями сложения и векторного
умножения. 7.
Кольцо
({0}, +, )
с операциями сложения и умножения:
0 + 0 =
0,
0 0 =
= 0.
Определение
4.1.2.
Различают конечные
и бесконечные
кольца (по числу элементов множества
K
),
но основная классификация ведется по
свойствам умножения. Различают
ассоциативные
кольца, когда операция умножения
ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1)
и неассоциативные
кольца (пункт
6 примера 4.1.1: здесь
,).
Ассоциативные кольца делятся на кольца
с единицей
(есть нейтральный элемент относительно
умножения) и без
единицы
,
коммутативные
(операция
умножения коммутативна) и
некоммутативные
. Теорема
4.1.1.
Пусть (K
, +, )
– ассоциативное кольцо с единицей.
Тогда множество K
*
обратимых относительно умножения
элементов кольца K
– мультипликативная группа. Проверим
выполнение определения группы 3.2.1. Пусть
a
, b
K
* .
Покажем, что a
b
K
* .
(a
b
) –1 = b
–1 а
–1 K
.
Действительно, (a
b
) (b
–1 а
–1) = a
(b
b
–1) а
–1 = a
1 а
–1 = 1, (b
–1 а
–1) (a
b
) = b
–1 (а
–1 a
) b
= b
–1 1 b
= 1, где
а
–1 ,
b
–1 K
– обратные элементы к a
и b
соответственно. 1) Умножение
в K
*
ассоциативно, так как K
– ассоциативное кольцо. 2) 1 –1 = 1:
1 1 = 1
1 K
* ,
1 – нейтральный элемент относительно
умножения в
K
* . 3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
= a
(а
–1) = 1
Определение
4.1.3.
Множество
K
*
обратимых относительно умножения
элементов кольца (K
, +, )
называют мультипликативной
группой кольца
. Пример
4.1.2.
Приведем примеры мультипликативных
групп различных колец. 1.
Z
* = {1,
–1}. 2.
M
n
(Q
) * = GL
n
(Q
),
M
n
(R
) * = GL
n
(R
),
M
n
(C
) * = GL
n
(C
). 3.
Z
/n
Z
*
– множество обратимых классов вычетов,
Z
/n
Z
* = { | (k
, n
) = 1,
0 k
< n
},
при
n
> 1
| Z
/n
Z
* | =
(n
),
где
– функция Эйлера. 4.
{0} * = {0},
так как в данном случае 1 = 0.
Определение
4.1.4.
Если в ассоциативном кольце (K
, +, )
с единицей группа K
* =
K
\{0},
где 0 – нейтральный элемент относительно
сложения, то такое кольцо называют телом
или алгеброй
с
делением
.
Коммутативное тело называется полем
. Из
данного определения очевидно, что в
теле K
*
и 1 K
* ,
значит, 1 0,
поэтому минимальное тело, являющееся
полем, состоит из двух элементов: 0 и 1. Пример
4.1.3.
1.
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– соответственно числовые
поля
рациональных, вещественных и комплексных
чисел. 2.
(Z
/p
Z
, +, )
– конечное поле из p
элементов, если p
– простое число. Например, (Z
/2Z
, +, )
– минимальное поле из двух элементов. 3.
Некоммутативным
телом является тело
кватернионов
– совокупность кватернионов
,
то есть выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = – 1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
Различают кольца
с делителями нуля и кольца без делителей
нуля. Определение
4.1.5.
Если в кольце найдутся
ненулевые элементы a
и b
такие, что a
b
= 0,
то их называют делителями
нуля
, а само
кольцо – кольцом
с делителями нуля
.
В противном случае кольцо
называется
кольцом без
делителей нуля
. Пример
4.1.4.
1.
Кольца
(Z
, +, ),
(Q
, +, ),
(R
, +, ),
(C
, +, )
– кольца без делителей нуля. 2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
4.
В
кольце (Z
/n
Z
, +, )
с
составным n
= k
m
,
где 1 < k
,
m
< n
,
классы вычетов
иявляются делителями нуля, так как.
Ниже приведем
основные свойства колец и полей. Непустое множество К,
на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям: 1) относительно операции сложения К
- коммутативнаятруппа; 2) относительно операции умножения К
- полугруппа; 3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb
для всех а, b, c K
, называется кольцом (К,+,
). Структура (К,
+) называется аддитивной группой
кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba.
для всех а
, b
, то кольцо называется коммутативным.
Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К
есть кольцо с единицей.
Подмножество L кольца называется подкольцом,
если L
- подгруппа аддитивной группы кольца и L
замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b
L выполняется а+b L
и ab L.
Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным
множеством S K,
называется пересечение всех подколец К,
содержащих S. 1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ
целых чисел, делящихся на п,
будет подкольцом без единицы при п>1.
Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей. 2. Множество квадратных матриц порядка п
относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е
- единичной матрицей. При п>1
оно некоммутативное. 3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены с переменной х
и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 ,
..., а n ,
из К.
Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К
от переменной х
над кольцом К
(например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K
от т
переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т
над кольцом K.
4. Пусть X
- произвольное множество, К
-произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К,
определенных на множестве X
со значениями в К
Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами (f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
где + и - операции в кольце К.
Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K
. Оно называется кольцом функций
на множестве X
со значениями в кольце К.
Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n
, (а т) п =а тп
для всех m
, n
и всех a
. Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел: 1) для всех a
a 0=0 a=0; 2) .(-а)b=а(-b)=-(ab)
; 3) - a=(-1)a
. Действительно: 2) 0=a
(аналогично (-a)b=-(ab)); 3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a
. Поле
В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0,
следует, что либо а
=0, либо b
=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n
>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = . Если в кольце К ab=0
при а
0, b
, то а
называется левым, а b -
правым делителем нуля.
Если в К
нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K
называется кольцом без делителей нуля.
1. В кольце функции f:
R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x.
Для них f 1 (x)
=0 при x
и f 2
(x
)=0 при x
, а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x)
- нулевая функция, хотя f 1 (x)
и f 2
(x) .
Следовательно, в этом кольце есть делители нуля. 2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b),
в котором заданы операции сложения и умножения: (a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);
(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0). Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с.
Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
Пусть К
- кольцо, с единицей. Элемент а
называется обратимым,
если существует такой элемент а -1 ,
для которого aa -1 =a -1 a=1
. Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab
=0
, то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0
(аналогично ba=0
). Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.
Действительно, умножение в К
ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а
и b
обратимы, то Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К,
в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K
\{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление. Коммутативное кольцо Р
с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой
поля. Произведение аb -1
записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0
. Элемент является единственным решением уравнения bx=a.
Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам: Докажем, например, второе из них. Пусть х=
и у=
- решения уравнений bx=a, dy=c.
Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t=
- единственное решение уравнения bdt=da+bc.
1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел. 8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ. 8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом. 8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения: а) множество целых чисел; б) множество рациональных чисел; в) множество действительных чисел, отличных от нуля. 8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц: а) группу; б) кольцо; 8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения: а) некоммутативное кольцо; б) коммутативное кольцо; 8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц: а) кольцо; 8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения: 8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом: ee=e, ea=a, ae=a, aa=e. а) группу; б) абелеву группу. 8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ. 8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.
(а
–1) –1
=
a
.
.
для всех
V
3 (R
).
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
(а
–1) –1
=
a
.
.
для всех
V
3 (R
).
и
,
так как A
B
= O
(нулевая матрица).
(аb) -1 =b -1 a -1 .
- Секреты молодости и красоты екатерины андреевой Рецепт красоты от екатерины андреевой
- Как нарисовать барабаны Как нарисовать барабан карандашом поэтапно
- Щадящая диета для похудения живота: рацион, правила Правила составления рациона
- Что делать с коровой, которая не встает после отела Если подняться не получается